Борис Шапиро родился 28 мая 1931 года в Харькове. В 5 лет был принят в Школу одарённых детей при Харьковской консерватории по классу фортепиано.Во время Второй мировой войны семья Шапиро эвакуировалась в Среднюю Азию, а после освобождения Харькова от немецко-фашистской оккупации вернулась в Харьков.
В 1947 году Борис поступил в Харьковскую консерваторию по классу фортепиано и композиции. Его педагогом был профессор Коган. С 1952 по 1955 год служил в Советской Армии на Сахалине.
4 февраля 1955 года женился на Алефтине Павловне Власовой и взял вторую фамилию. После увольнения в запас вернулся в Харьков и поступил на работу пианистом-концертмейстером в Харьковскую государственную филармонию.
Много лет работал с различными советскими эстрадными коллективами и с исполнителями русских романсов. Одновременно записывался на Всесоюзном радио и телевидении.
В телевизионной передаче «Вселенная, Земля и люди», которую редактировал тогда Валерий Александрович Суслов, прозвучала песня Бориса Шапиро, посвящённая конструктору советских космических кораблей академику Королёву.
Позже ездил с авторскими концертами по всему Советскому Союзу. В 1970-е годы на различных концертных площадках Москвы выступал с песнями на стихи Кайсына Кулиева в переводе Наума Гребнева.
В 1977 году эмигрировал вместе с семьёй в США, где был принят на работу в Балет Джоффри. Выступал в "Зелёной Таверне", где пела Элла Фицджеральд и многие другие суперзвёзды джаза. Играл в популярном русском ресторане "Самовар".
Выступал с сольными концертами по Восточному и Западному побережью Америки вместе с советскими, израильскими и американскими исполнителями. Умер в Нью-Йорке в 2004 году.